对称矩阵一定可逆吗
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2022/1/16
不一定，最简单的就是0矩阵,对称不可逆，或者就a11=1,其余元都是0的矩阵对称不可逆。实对称矩阵是正交矩阵，不是所有的实对称阵都是正交矩阵。这里的P是是对称矩阵，且刚好P的逆等于P的转置，所以P也是正交矩阵。这只是一种特殊情况。
对称矩阵一定可逆吗对称矩阵是指以主对角线为对称轴，各元素对应相等的矩阵。
在线性代数中，对称矩阵是一个方形矩阵，其转置矩阵和自身相等。两个对称矩阵的积是对称矩阵，当且仅当两者的乘法可交换，两个实对称矩阵乘法可交换当且仅当两者的特征空间相同。
1855年，埃米特证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质，如称为埃米特矩阵的特征根性质等。后来，克莱伯施、布克海姆等证明了对称矩阵的特征根性质，泰伯引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论。
为什么实对称矩阵可以对角化这涉及到一系列的定理,不是在这里可以详细解答的,告诉你这些定理,并注明在同济《线性代数》第三版中的位置,你可以详细阅读,其它版本的《线性代数》可以到相应地方去找.
定理1：n阶矩阵A能与对角阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量.(p146定理4)
定理2：实对称阵A的特征值都是实数.(p147定理5)
由这个定理可以知道,实对称阵一定存在实特征向量.
定理3：实对称阵的不同特征值对应的特征向量一定是互相正交的.(p147定理6)
注：正交的向量组一定是线性无关的向量组.
定理4：实对称阵A的r重特征值λ一定有r个线性无关的特征向量.(p148定理7)
由这个定理可以知道,n阶实对称阵一定有n个线性无关的特征向量.
结合定理1与定理4,就可以得到你需要的结论.
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