图论法用于供水管网水力计算的研究(1)

摘要：图论理论是网络分析的主要工具，现用于管网的水力平衡计算 ，既充分发挥了图论理论的优势，使计算变得简便、迅捷，又可将管网附件加入计算，使结果更准确、更符合实际。文中采用峰阵输入管网结构，使输入数据的工作量大大减少，易于编制程序，计算大型的复杂管网。 

关键词：供水管网 水力计算 图论法 

前 言

　　供水管网的水力平衡计算是供水系统规划设计、经济评价和运行管理的基础。水力平衡计算的目的就是在确定管径的情况下求出满足连续方程和能量方程的各节点压力水头和各管段流量。目前常用的水力平衡计算方法有哈代-克罗斯法(hardy-cross)，牛顿-莱福逊法(new ton-raphson)，线性理论法(linear-theory)，有限元法(finite element)等等。所有这些方法各有所长，适用范围各不相同，有的还需人工假设管段流量，使输入数据工作量增大，且未考虑管网附件的影响。本文介绍的图论法将复杂的管网处理为相应的“网络图”，并建立相应的数学模型，用峰阵输入原始数据来描述管网结构，输入的数据量最少，不易出错，易于计算大型的复杂管网。其计算过程可同时考虑管网附件，如控制阀、加压泵、逆止阀、减压阀等，使计算结果更符合实际。

1 图论原理

　　将供水管网中的管段概化成一条线段(即图中的边)，将有附件的管段看成图中的特殊管段，边与边由节点相连。这样，一个供水系统的管网图就转化为图论中的网络图。而且管道中的水流是有方向的，所以管网图是有向图。

根据以上所述原则，可将图1所示管网系统，转化为图2所示的网络图。

图1

图2

图1中有一水库a，三个给水点b、c、d，q₁表示水库节点供水量，q₂,q₃,q₄分别表示b、c、d节点的用水量。管段视为网络图中的对应边，管段的直径、管长、管道流量、摩损系数等作为管段对应边的权。至此，与管网同构的网络图生成了。图中箭头表示各条边的方向，即管段中水流方向。

　　网络图中节点与边的关联函数可以用完全关联矩阵i_4×5表示如式(1)所示。

           顶点                                 边的编号     

                    (1)

式中：i_ij=  { 1，表示j管段与i节点相连，且管内水流流离该节点；

             0，表示此管段不与该节点关联；

             -1，表示j管段与i节点相连，且管内水流流入该节点。

　　完全关联矩阵与管段流量列向量q以及节点流量列向量q可组成管网节点方程(即连续方程)i_ij×q+q=0,q=(q₁,q₂,q₃,q₄,q₅)^t,q=(q₁,q₂,q₃,q4)^t。

　　网络图的生成树(全涉及树)可以有很多种，在计算时可以任选一种。在本例中，选1、2、4这3条边为图的生成树，则补树(余树)的各边(弦)为3、5.各弦将与枝构成基本回路，一个基本回路中有且仅有1条弦。用基本回路矩阵b_f表示则如式(2)所示。

式中每一行表示一个基本回路(环)。环的方向以该环对应弦的方向为准。“-1”表示管段中的流向与环中弦的方向相反，“1”表示相同，“0”表示该管段不在此环内。b_f可用矩阵b和单位阵u表示为式(3)。

　　环阵与管段摩损列向量h_f构成环方程如式(4)所示。摩损向量的元素顺序与b_f中每行元素所对应的管段顺序相同。

　　图论理论中，连续方程用割方程代替。每个割方程只含一根枝，并和相关的弦构成割集，将图2分割成互不连通的脱离体。这样，图中就有3个割集。割集和割集阵a_f如式(5)所示：

割集k：      割阵： a_f= [   枝1 2   4   弦3  5   ]     (5)

            k₁=(e₁,e₃,e₅)                  1    0   0   1    -1       

            k₂=(e₂,e₃,e₅)                  0    1   0   -1   1        

            k₃=(e₄,e₅)                    0    0   1   0    1        

割阵a_f中，每一行表示一个割集。图中有3根枝，所以就有3个割集。割阵中，“+1”表示该管段在此割集内，且管段流向与此割集内的枝中的流向相同，“-1”表示流向相反，“0”表示该管段不在此割集内。式(5)的割阵a_f和割集k一一对应。割阵af可用一个矩阵a和一个单位阵u表示为：

割阵与流量列向量可构成割方程。

　　根据图论理论，割阵的行向量与环阵的行向量正交，这种关系可用式(6)表示。

所以有b=-a^t或者a=-b^t。这样，环阵可以由割阵求出，反之亦然。

　　关联矩阵通过选主元初等行变换即可得到割阵：先选关联阵第一行中一非零枝元素为主元，并使其为+1，消去其它各行中此主元；再选第二行、第三行、…的主元，最后即得割阵a_f。因此，可以由关联矩阵导出割阵和环阵。

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