上海理工大学插班生高等数学考试大纲
艺术高考
2010/4/26
上海理工大学插班生《高等数学》考试大纲
一.函数、极限、连续
1. 准确掌握基本初等函数的性质及其图形;
2. 会建立简单问题的函数关系，并确定其定义域;
3. 理解极限的定义及其性质;
4. 理解两个极限存在准则(夹逼准则和单调有界准则) ，并能利用它们证明简单的极限问题;
5. 会利用等价无穷小替代、络必塔法则等方法求极限;
6. 理解函数在一点处连续的三种等价定义方式;
7. 会求函数的连续区间，判断函数间断点的类型;
8. 理解并掌握闭区间上连续函数的主要性质.
二.一元函数微分学
1. 清楚导数和微分的概念及函数可导、可微、连续之间的关系；
2. 熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握隐函数和由参数方程确定函数的二阶导数、特殊函数的高阶导数、幂指函数导数的计算方法；
3. 理解Rolle定理、Lagrange定理、Cauchy定理、Taylor 定理(公式)的内容和意义，能利用这些定理证明一些特殊点的存在性，或证明恒等式及不等式；
4. 能利用导数解决函数的单调性和极值、曲线的凹凸性和拐点、方程根的存在性、函数的最值等问题.
三．一元函数积分学
1. 理解原函数与不定积分的概念；
2. 会用第一换元(凑微分)法求不定积分，能灵活运用第二换元法求不定积分；
3. 熟练掌握分部积分方法，能利用递推或循环运算等方法求不定积分；
4. 会求简单有理函数和简单无理函数的不定积分；
5. 理解定积分的定义；清楚定积分的性质(线性性质、保号性质、积分区间的可加性、积分中值定理等)；
6. 理解变上限积分的定义、性质及求导方法，清楚连续函数原函数的存在性；
7. 熟练运用Newton-Leibniz公式计算定积分；
8. 会利用定积分的换元法、分部积分法计算积分，计算简单的反常(广义)积分，讨论简单反常积分的敛散性;
9. 会求平面图形的面积、平面曲线的弧长、绕坐标轴旋转的旋转体体积、变力作功、液体的压力；
10. 能利用定积分的性质、积分中值定理、原函数存在定理证明有关问题.
四．常微分方程
1. 会求解变量可分离的方程、齐次方程、一阶线性方程、Bernoulli 方程和全微分方程；
2. 清楚高阶线性微方程解的结构；
3. 掌握高阶常系数线性微分方程的解法；
4. 能用微分方程求解一些较为简单的应用问题.
五.空间解析几何与向量代数
1. 掌握向量的基本运算;
2. 掌握平面方程和直线方程建立的方法；
3. 会求点到平面之间的距离或点到直线的距离;
4. 会用平面束建立平面方程.
六.多元函数微分学
1. 会求简单多元函数的极限；
2. 理解偏导数与全微分的概念，清楚偏导数存在与可微、连续之间的关系;
3. 掌握多元复合(抽象)函数的求导法则，会求隐函数(包括由方程组所确定的函数)的二阶偏导数;
4. 能利用偏导数求解曲面的切平面与法线、空间曲线(包括方程组型)的切线与法平面、方向导数、多元函数极值等问题.
七.多元函数积分学
1. 掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)和三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、球面坐标) ;
2. 能利用二重积分计算某些立体的体积、曲面的面积；
3. 掌握两类曲线积分的计算方法，了解Green 公式成立的条件；
4. 会用Green 公式计算一些曲线积分，会判断平面曲线积分与积分路径无关的条件，并用这一结论计算(或简化)某些特殊的对坐标的曲线积分。
说明：1.试卷总分100分，前四部分大约占70分，后三部分大约占30分；
2.考试时间120分钟;
3.教材:《高等数学》（上下册），同济大学应用数学系编，第六版
