国考行测数量关系解题技巧：一元二次函数求极值
考研答题技巧
2022/2/19
极值问题是近年来的考试热点，出题人越来越倾向于考察极限思维。在行测考试中，对于极值问题的考察，有些题目是要通过一元二次方程去求最大/最小值的。这种题型快速求解需要我们掌握一种新的方法。
在讲这种方法之前，我们先回顾一个高中的知识点：
均值不等式：两个数a，b和一定时，乘积有最大值：并且当a=b时，ab乘积取最大。
这时，大家可能还有点疑惑，这个知识点究竟有什么用处呢?通过下面这个例题来看看它的用法。
例题
某商店出售A商品，若每天卖100件，则每件可获利6元。根据经验，若A商品每件涨1元钱，每天就少卖10件。为使每天获利最大化，A商品应涨价多少元。
【解析】题目中A商品的销量是随着价格而变化的，想让利润最大化，而利润=单件利润X数量，所以在这个题中，我们实际上是要求乘积的最大值。
每件涨1元，每天就少卖10件，那假设涨了X元，每天就会少卖10X件。
所以涨价后的利润=(6+X)(100-10X)
整理得： 利润=10(6+X)(10-x)，求这个一元二次方程得最大值。
根据前面的均值不等式，可以把6+X当成a，10-X当成b，
此时 利润=10ab
a+b=6+X+10-X=16为定值，那么在a=b时，ab最大，10ab也最大
解得a=b=8，X=2，涨价2元时，利润最大
这就是上题的求解过程，实际上为借助均值不等式来对一元二次方程求极值。
同时，我们可以看看对一元二次方程求极值题目的另一些考法，例如下面的这个例题。
例题
某汽车坐垫加工厂生产一种汽车坐垫，每套的成本是144元，售价是200元。一个经销商订购了120套这种汽车坐垫，并提出：如果每套坐垫的售价每降低2元，就多订购6套。按经销商的要求，该加工厂获得最大利润需售出的套数是多少?
【解析】这个题跟上一个题类似之处是同属利润问题，而不同点在于它是让我们求数量为多少，我们知道销量跟降价幅度是相关的，所以同样可以先把最大利润时的降价情况求出来，进而求出销量。
根据题目已知条件，每套的利润为200-144=56元，每降价2元，多卖6套，那假设降了2x元，则会多卖6套。
利润=单件利润X数量=(56-2x)(120+6X)=12(28-X)(20+X)
令28-X=a，20+X=b;a+b=28-x+20+x=48为定值，那在a=b时，ab最大，利润也最大。
此时a=b=24，X=4.
降价4X2=8元，最大利润时：售价=56-2X4=48，销量=120+6X4=144。
根据上面两个题的讲解，我们来总结一下一元二次方程的解题步骤：
1、根据题干中的条件列出方程;
2、把X前的系数变成相同的一正一负;
3、借助均值不等式性质求解。
综上所述，掌握这种方法能够快速解出这类看似复杂的题目。方法很简单，希望大家多加练习!
