三角函数积化和差公式 证明过程有哪些

积化和差公式将两个三角函数值的积化为另两个三角函数值的和的常数倍，达到降次的作用。下面小编整理了三角函数积化和差公式，供大家参考！

积化和差公式：

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

和差化积公式：

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

1、sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程

因为

sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,

sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,

将以上两式的左右两边分别相加,得

sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β,

设 α+β=θ,α-β=φ

那么α=(θ+φ)/2,β=(θ-φ)/2

把α,β的值代入,即得

sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]

2、根据欧拉公式,e ^Ix=cosx+isinx

令x=a+b

得e^I（a+b）=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos（a+b）+isin（a+b）

所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb

sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa