三角形外心是什么交点
高考资讯
2022/2/1
三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心。三角形外接圆的圆心也就是三角形三边垂直平分线的交点，三角形的三个顶点就在这个外接圆上。做法是分别作三角形两边的中垂线交点计作O。
知识拓展设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．
性质1：（1）锐角三角形的外心在三角形内；
（2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；
（3）钝角三角形的外心在三角形外。
（4）等边三角形外心与内心为同一点。
性质2：∠BGC=2∠A
性质3：∠GAC+∠B=90°
证明：如图所示延长AG与圆交与P（B、C下面的那个点）
∵A、C、B、P四点共圆
∴∠P=∠B
∵∠P+∠GAC=90°
∴∠GAC+∠B=90°
性质4：点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件是：
（1）向量PG=(tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC)。
或（2）向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC。
性质5：三角形三条边的垂直平分线交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心。外心到三顶点的距离相等。
性质6：点G是平面ABC上一点，那么点G是⊿ABC外心的充要条件(向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=0。
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