面面垂直可以推出线线垂直吗
高考资讯
2022/2/1
面面垂直是推不出线线垂直的，但是线面垂直能推出来线线垂直，即一直线如果垂直某平面，则该直线垂直此平面内任一直线；该线所在任何平面也垂直于此平面。
线面垂直几何法判定定理
已知l⊥m，l⊥n，m，nα，m∩n=E。求证：EF⊥α
因为平移不改变角度，所以可以通过平移把所有的直线移动到相交于一点的位置来证明。
证明：∵l⊥m，l⊥n
∴在α内所有与m或n平行的直线都与l垂直。
接下来证明那些与m，n不平行的直线也与l垂直。
取m上A，B两点，取n上C，D两点，使AE=BE，CE=DE
连接AD，BC，过E作任意一条直线，该直线与AD，BC交点为G，H（稍后将讨论GH与AD，BC平行的情况）
取l上异于E的点F，连接FA，FG，FD，FB，FH，FC
∵AE=BE，CE=DE，∠AED=∠BEC
∴△AED≌△BEC（SAS）
∴∠DAE=∠CBE，AD=BC
∵∠AEG=∠BEH
∴△AEG≌△BEH（ASA）
∴AG=BH，GE=HE
∵EF⊥AB，AE=BE
∴FA=FB
同理，FC=FD
∴△FAD≌△FBC（SSS）
∴∠FAG=∠FBH
∴△FAG≌△FBH（SAS）
∴FG=FH
又∵GE=HE
∴FE⊥GH
由GH的任意性可知，EF垂直平面内任意与AD，BC都不平行的直线
当GH∥AD∥BC时，可以连接AC，BD，那么GH必与AC，BD相交
之后证明方法同上，只需要改字母即可。
根据线面垂直的定义，l⊥α
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