平面向量基本定理和向量共线定理

一、平面向量基本定理和向量共线定理

1、向量共线定理

向量$oldsymbol a(oldsymbol a≠0)$与$oldsymbol b$共线，当且仅当有唯一一个实数$λ$，使$oldsymbol b=λoldsymbol a$。

注：（1）定理中$oldsymbol a(oldsymbol a≠0)$不能漏掉。若$oldsymbol a=oldsymbol b=oldsymbol 0$，则实数$λ$可以是任意实数；若$oldsymbol a=oldsymbol 0$，$oldsymbol b≠oldsymbol 0$，则不存在实数$λ$，使得$oldsymbol b=λoldsymbol a$。

（2）对任意两个向量$oldsymbol a$，$oldsymbol b$，若存在不全为0的实数对（$λ$，$μ$），使$λoldsymbol a+μoldsymbol b=0$，则$oldsymbol a$与$oldsymbol b$共线。

（3）向量共线定理主要用来证明两条直线平行、三点共线等问题。

2、平面向量基本定理

如果$oldsymbol e_1$，$oldsymbol e_2$是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任意向量$oldsymbol a$，有且只有一对实数$λ_1$，$λ_2$，使$oldsymbol a=λ_1oldsymbol e_1+λ_2oldsymbol e_2$。把不共线的向量$oldsymbol e_1$，$oldsymbol e_2$叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

定理的推广：平面内任意三个不共线（两两不共线）的向量中，任何一个向量都可表示为其余两个向量的线性组合且形式唯一。

注：（1）由于零向量与任何向量都共线，所以零向量不能作为基底。

（2）如果对于一组基底$oldsymbol e_1$，$oldsymbol e_2$，有$oldsymbol a=$$λ_1oldsymbol e_1+$$λ_2oldsymbol e_2=$$μ_1oldsymbol e_1+$$μ_2oldsymbol e_2$，则可以得到$λ_1=μ_1$，且$λ_2=μ_2$。

二、平面向量基本定理的相关例题

在平行四边形$ABCD$中，$E$，$F$分别为边$AD$，$CD$的中点，$AF$与$BE$相交于点$M$，则$overrightarrow{AM}=$___

A．$ rac{3}{4}overrightarrow{AB}+ rac{1}{4}overrightarrow{AE}$ B．$ rac{4}{5}overrightarrow{AB}+ rac{1}{5}overrightarrow{AE}$ C．$ rac{1}{4}overrightarrow{AB}+ rac{3}{4}overrightarrow{AE}$ D．$ rac{1}{5}overrightarrow{AB}+ rac{4}{5}overrightarrow{AE}$

答案：D

解析：设$overrightarrow{AM}=toverrightarrow{AF}$，$overrightarrow{EM}=soverrightarrow{EB}$，则$overrightarrow{AM}=$$toverrightarrow{AF}=$$tleft(overrightarrow{AD}+ rac{1}{2}overrightarrow{AB}ight)=$$overrightarrow{AE}+overrightarrow{EM}$，所以$tleft(overrightarrow{AD}+ rac{1}{2}overrightarrow{AB}ight)=$$overrightarrow{AE}+soverrightarrow{EB}=$$ rac{1}{2}overrightarrow{AD}+$$s(overrightarrow{AB}-overrightarrow{AE})$，整理得$toverrightarrow{AD}+$$ rac{t}{2}overrightarrow{AB}=$$left( rac{1}{2}- rac{s}{2}ight)overrightarrow{AD}+$$soverrightarrow{AB}$，因为$overrightarrow{AD}$，$overrightarrow{AB}$不共线，所以$egin{cases}t= rac{1}{2}- rac{s}{2},frac{t}{2}=s,end{cases}$得$s= rac{1}{5}$，所以$overrightarrow{AM}-overrightarrow{AE}=$$overrightarrow{EM}=$$ rac{1}{5}overrightarrow{EB}=$$ rac{1}{5}(overrightarrow{AB}-overrightarrow{AE})$，即$overrightarrow{AM}=$$ rac{1}{5}overrightarrow{AB}+$$ rac{4}{5}overrightarrow{AE}$，故选D。