高次方程的定义和解法

一、高次方程的定义和解法

1、高次方程

一般地，最高次项的次数高于2次的均可称为高次方程。

由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。

2、高次方程的解法

对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的，对于一元五次以下的高次方程，可以对其中的一些特殊形式的方程运用特殊的方法来求解。下面通过举例说一下某些特殊高次方程的几种解法：

（1）换元法

例如四次方程($x$+1)($x$+2)($x$+3)($x$+4)+1=0，可以分成($x$+2)($x$+3)和($x$+1)($x$+4) 两个因式，然后这两个因式分别合并，得到($x^2 +5x$+6)($x^2 +5x$+4)+1=0，设$x^2+5x=y$，代入方程，得：($y$+6)($y$+4)+1=0，最后整理得，$y^2+10y$+25=0，解得$y_1=y_2$=-5，然后代入$x^2+5x=y$，得$x^2+5x$=-5，再解这个二次方程，即可求出原方程的四个实数根。

（2）配方法

例如四次方程$x^4$+6$x^3$+13$x^2$+12$x$+4=0，这个方程如果不仔细看，好像是看着很乱，找不到求解的头绪，其实如果试用配方法解，应该是很容易的。先通过配平方法将三次项式系数化掉，即($x^2$+3$x)^2$+4$x^2$+12$x$+4=0，然后观察，正好后面的系数比和括号里的一样，即($x^2$+3$x)^2$+4($x^2$+3$x$)+4=0，这样就可以用换元法，把四次方程化成二次方程，最后求出原方程的根。通过这个例子我们可以看出，对于某些最高次数为合数的$N$次方程，不仅可以考虑使用配$N$次方的方法，也可以考虑使用配$N$的因数次方的方法。例如四次方程可以考虑配平方的方法，六次方程可以考虑配二次方或者是三次方的方法，九次方程可以考虑配三次方的方法等等$cdotscdots$。

（3）因式分解法

例如解三次方程$x^3$+$x^2$+3$x$+27=0，可以分解因式为($x$+3)($x^2$-3$x$+9)+$x$($x$+3)=0，提取公因式($x$+3)，得($x$+3)($x^2$-2$x$+9)=0，然后就通过解$x^2$-2$x$+9=0、$x$+3=0 这两个方程，解原方程只有一个实根$x$=-3。

以上这些解高次方程的方法仔细想一下，都来自于解二次方程的方法，所以数学应该学会举一反三。

二、高次方程的相关例题

一元三次方程$x^3$-2$x^2$-4$x$+8=0的解为___

A．$x_1=x_2=2,x_3=-2$

B．$x_1=x_2=-2,x_3=2$

C．$x_1=x_2=4,x_3=-4$

D．$x_1=x_2=-4,x_3=4$

答案：A

解析：解原方程可变形为$x^2$($x$-2)-4($x$-2)=0，($x$-2)($x^2$-4)=0，($x-2)^2$($x$+2)=0。所以$x_1=x_2$=2，$x_3$=-2。故选A。