分式的定义和有意义的条件
数学知识点
2022/1/20
一、分式的定义和有意义的条件
1、分式的概念
一般地，如果$A$，$B$表示两个整式，并且$B$中含有字母，那么式子$ rac{A}{B}$叫做分式。分式$ rac{A}{B}$中，$A$叫做分子，$B$叫做分母。
2、分式有意义的条件
分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0。即当$B≠0$时，分式$ rac{A}{B}$才有意义。
3、分式的值为0的条件
当分式的分子等于0，且分母不等于0时，分式的值为0，即当$A=0$，且$B≠0$时，分式$ rac{A}{B}=0$。
4、分式的基本性质
（1）分式的基本性质
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
即$ rac{A}{B}= rac{A·C}{B·C}$，$ rac{A}{B}= rac{A÷C}{B÷C}$$(C≠0)$，其中$A$，$B$，$C$是整式。
（2）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。
（3）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数约去它们的最大公约数，如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分。
（4）最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。
（5）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。
（6）通分法则：把两个或者几个分式通分，① 先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂与所有不同因式的积）。② 再利用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式。③ 若分母是多项式，则先分解因式，再通分。
（7）最简公分母：各分式分母的所有因式的最高次幂的积，叫做最简公分母。
确定分式的最简公分母的步骤：
① 取各分式的分母中系数的最小公倍数。
② 各分式的分母中所有字母（或因式）都要取到。
③ 相同字母（或因式）的幂取指数最大的。
④ 所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积即为最简公分母。
5、分式的乘除
（1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
用式子表示为$ rac{a}{b}· rac{c}{d}= rac{a·c}{b·d}$。
（2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
用式子表示为$ rac{a}{b}÷ rac{c}{d}= rac{a}{b}· rac{d}{c}= rac{a·d}{b·c}$。
（3）乘方法则：一般地，当$n$是正整数时，
$left(displaystyle{} rac{a}{b}ight)^n=$$egin{matrix} underbrace{displaystyle{} rac{a}{b}· rac{a}{b}·cdots· rac{a}{b} }n个 end{matrix}=$$egin{matrix}n个 overbrace{egin{matrix} underbrace{displaystyle{} rac{a·a·cdots·a}{b·b·cdots·b}} n个 end{matrix}} end{matrix}=$$displaystyle{} rac{a^n}{b^n}$，即$left( rac{a}{b}ight)^n= rac{a^n}{b^n}$。
即分式乘方要把分子、分母分别乘方。
6、分式的加减
类似分数的加减，分式的加减法则是
（1）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
即：$ rac{a}{c}± rac{b}{c}= rac{a±b}{c}$。
（2）异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
即：$ rac{a}{b}± rac{c}{d}= rac{ad}{bd}± rac{bc}{bd}= rac{ad±bc}{bd}$。
二、分式的定义的相关例题
把$ rac{1}{x-2}$，$ rac{1}{(x-2)(x+3)}$，$ rac{2}{(x+3)^2}$通分的过程中，不正确的是___
A．最简公分母是$(x-2)(x+3)^2$
B．$ rac{1}{x-2}= rac{(x+3)^2}{(x-2)(x+3)^2}$
C．$ rac{1}{(x-2)(x+3)}= rac{x+3}{(x-2)(x+3)^2}$
D．$ rac{2}{(x+3)^2}= rac{2x-2}{(x-2)(x+3)^2}$
答案：D
解析：选项A，最简公分母为$(x-2)(x+3)^2$，正确；选项B，$ rac{1}{x-2}= rac{(x+3)^2}{(x-2)(x+3)^2}$，正确；选项C，$ rac{1}{(x-2)(x+3)}= rac{x+3}{(x-2)(x+3)^2}$，正确；选项D，$ rac{2}{(x+3)^2}= rac{2(x-2)}{(x-2)(x+3)^2}= rac{2x-4}{(x-2)(x+3)^2}$，不正确，故选D。
