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国际象棋发明人的报酬

这是印度的一个古老传说，舍罕王打算重赏象棋发明人、宰相西萨·班·达依尔。这位聪明的大臣的胃口看来并不大，他跪在国王面前说： ‘陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内，赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，用这样下去，每一小格内都比前一小格加一倍。陛下，把这样摆满棋盘上所有64格的麦粒，都赏给您的仆人吧!’ ‘爱卿，你所求的并不多啊。”国王说道，心里为自己对这样一件奇妙的发明赏赐的许诺不致破费太多而暗喜。“你当然会如愿以偿的，”国王命令如数付给达依尔。 计数麦粒的工作开始了，第一格内放1粒，第二格内放2粒第三格内放2’粒，…还没有到第二十格，一袋麦子已经空了。一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来。但是，麦粒数一格接一格飞快增长着，国王很快就看出，即便拿全印度的粮食，也兑现不了他对达依尔的诺言。 原来，所需麦粒总数 1+2+2^2+2^3+2^4+……+2^63=2^64-1 =184****4073709551615。 这些麦子究竟有多少?打个比方，如果造一个仓库来放这些麦子，仓库高4公尺，宽10公尺，那么仓库的长度就等于地球到太阳的距离的两倍。而要生产这么多的麦子，全世界要两千年。尽管印度舍罕王非常富有，但要这样多的麦子他是怎么也拿不出来的。这么一来，舍罕王就欠了宰相好大一笔债。要么是忍受达依尔没完没了的讨债，要么是干脆砍掉他的脑袋。结果究竟如何，可惜史书上没有记载。

从这个故事中，不难看出，印度古代对等比级数已有相当的研究。 类似印度“国际象棋发明人的报酬”问题还出现在别的国度。十八世纪初期，俄国马格尼茨的《算术》一书中的“卖马’问题，就与“国际象棋发明人的报酬”相类似，有异曲同工之妙。 “卖马”原题如下： 某人卖马一匹，得钱156卢布。但是买主买到马以后又懊悔了，要把马退还给卖主，他说这匹马根本不值这么多钱。于是卖主向买主提出了另一种计算马价的方案说，如果你嫌马太贵了，那末就只买马蹄上的钉子好了，马就算白送给你。每个马蹄铁上有6枚钉子，第一枚钉子只卖1/4个戈比(1卢布等于100戈比)，第二枚卖半个戈比，第三枚一个戈比，后面每个钉子价格依此类椎。买主认为钉子的价值总共也花不了10个卢布，还能白得一匹好马，于是就欣然同意丁。结果买主算账后才明白上当。试问买主在这笔交易中要亏损多少?