共线向量为什么系数和为1
高考资讯
2022/1/17
若A、B、C三点共线，O为线外一点，则OB=aOA+bOC (OA、OB、OC为向量）中，a+b=1。若A、B、C、D三点共面，O为面外一点，则OB=aOA+bOC+cOD (OA、OB、OC为向量），a+b+c=1。
设A、B、C三点共线，O是平面内任一点。
因为A、B、C共线，所以存在非零实数k，使AB=kAC
即OB-OA=k(OC-OA)
所以OB=kOC+(1-k)OA
[注：两个系数和k+1-k=1]
反之，若存在实数x，y满足x+y=1，且OA=xOB+yOC
则OA=xOB+(1-x)OC
OA-OC=x(OB-OC)
所以CA=xCB
因此，向量CA与CB共线，
又由于CA、CB有公共点C,
所以，A、B、C三点共线。
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