特征值与秩的关系是什么 二者有哪些含义
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2022/1/17
特征值与秩的关系：如果矩阵可以对角化,那么非0特征值的个数就等于矩阵的秩;如果矩阵不可以对角化,这个结论就不一定成立。
矩阵特征值的定义设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式Ax=λx成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量。式Ax=λx也可写成( A-λE)X=0。这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式| A-λE|=0。
设A是数域P上的一个n阶矩阵，λ是一个未知量，
系数行列式|A-λE|称为A的特征多项式，记(λ)=|λE-A|，是一个P上的关于λ的n次多项式，E是单位矩阵。
(λ)=|λE-A|=λn+a1λn-1+…+an= 0是一个n次代数方程，称为A的特征方程。特征方程(λ)=|λE-A|=0的根(如：λ0)称为A的特征根(或特征值)。n次代数方程在复数域内有且仅有n个根，而在实数域内不一定有根，因此特征根的多少和有无，不仅与A有关，与数域P也有关。
秩的定理定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。
定理：初等变换不改变矩阵的秩。
定理：如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。
定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};
引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。
当r(A)<=n-2时，最高阶非零子式的阶数<=n-2，任何n-1阶子式均为零，而伴随阵中的各元素就是n-1阶子式再加上个正负号，所以伴随阵为0矩阵。
当r(A)<=n-1时，最高阶非零子式的阶数<=n-1，所以n-1阶子式有可能不为零，所以伴随阵有可能非零（等号成立时伴随阵必为非零）
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