点到直线的距离公式及其证明方法是什么
高中知识
2022/1/9
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，这条垂线段的长度，叫做点到直线的距离。下面是计算点到直线距离的公式，快来看看吧！
点到直线的距离公式点到直线距离公式的证明法定义法证：根据定义，点P(x,y)到直线l：Ax+By+C=0的距离是点P到直线l的垂线段的长，设点P到直线的垂线为l'，垂足为Q，则l'的斜率为B/A则l'的解析式为y-y=(B/A)(x-x)把l和l'联立得l与l'的交点Q的坐标为((B^2x-ABy-AC)/(A^2+B^2), (A^2y-ABx-BC)/(A^2+B^2))由两点间距离公式得：
PQ^2=[(B^2x-ABy-AC)/(A^2+B^2)-x0]^2
+[(A^2y-ABx-BC)/(A^2+B^2)-y0]^2
=[(-A^2x-ABy-AC)/(A^2+B^2)]^2
+[(-ABx-B^2y-BC)/(A^2+B^2)]^2
=[A(-By-C-Ax)/(A^2+B^2)]^2
+[B(-Ax-C-By)/(A^2+B^2)]^2
=A^2(Ax+By+C)^2/(A^2+B^2)^2
+B^2(Ax+By+C)^2/(A^2+B^2)^2
=(A^2+B^2)(Ax+By+C)^2/(A^2+B^2)^2
=(Ax+By+C)^2/(A^2+B^2)
所以PQ=|Ax+By+C|/√(A^2+B^2)，公式得证。
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