三角形的面积和周长
高中知识
2022/1/9
一、三角形的面积和周长
1、三角形
在同一平面内，且不在同一条直线上的三条线段，首尾顺次相接所得的封闭的内角和为180度的几何图形叫做三角形，符号为“$△$”。组成三角形的三条线段叫做三角形的三条边，每两条边的交点叫做顶点，组成的角叫做三角形的内角。
2、三角形的三边关系
三角形任意两条边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
3、三角形的周长
三角形周长是指围成三角形三边长的和。
三角形的周长=三角形三边之和。
4、三角形的面积
三角形面积是指一个三角形通过测量和计算而得的平面面积。
几种常见的求三角形面积的方法：
（1）已知三角形一边及该边上的高
$S= rac{1}{2}ah$（$h$表示边$a$上的高）。
（2）已知三角形的两边及其夹角
$S= rac{1}{2}absin C= rac{1}{2}acsin B= rac{1}{2}bcsin A$。
（3）已知三角形的三边
$S=sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，$p= rac{1}{2}(a+b+c)$。
（4）已知三角形的三边及内切圆半径
$S= rac{1}{2}r(a+b+c)$（$r$表示三角形内切圆的半径）。
（5）已知三角形的三边及外接圆半径
$S= rac{abc}{4R}$（$R$表示三角形外接圆的半径）。
（6）已知三角形的三角及外接圆半径
$S=2R^2sin Asin Bsin C$（$R$表示三角形外接圆的半径）。
（7）数量积形式的三角形面积公式
在$△ABC$中，设$overrightarrow{CA}=oldsymbol b$，$overrightarrow{CB}=oldsymbol a$，且$〈oldsymbol a,oldsymbol b〉=θ$，则$S=$$ rac{1}{2}|oldsymbol a||oldsymbol b|sin θ=$$ rac{1}{2}sqrt{|oldsymbol a|^2|oldsymbol b|^2-(oldsymbol a·oldsymbol b)^2}$。
（8）坐标形式的三角形面积公式
在$△ABC$中，设$overrightarrow{CB}=$$oldsymbol a=$$(a_1,a_2)$，$overrightarrow{CA}=$$oldsymbol b=$$(b_1,b_2)$，则$S=$$ rac{1}{2}|a_1b_2-a_2b_1|$。
二、三角形的面积的相关例题
将一个三角形按$1∶3$缩小得到的三角形的面积是原三角形面积的。
A．$ rac{1}{3}$ B．$ rac{1}{6}$ C．$ rac{1}{9}$
答案：C
解析：三角形的面积=底×高×$ rac{1}{2}$，三角形按$1∶3$缩小，底缩小到原来的$ rac{1}{3}$，高缩小到原来的$ rac{1}{3}$，所以面积缩小到原来的$ rac{1}{3}× rac{1}{3}= rac{1}{9}$，故选C。
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