斐波那契数列的定义和通项公式
高中知识
2022/1/9
一、斐波那契数列的定义和通项公式
1、定义
斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、$cdotscdots$这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。
2、通项公式
$a_n= rac{1}{sqrt{5}}left[left( rac{1+sqrt{5}}{2}ight)^n-left( rac{1-sqrt{5}}{2}ight)^night]$
3、特性
（1）从第二项开始（构成一个新数列，第一项为1，第二项为2，$cdotscdots$），每个偶数项的平方都比前后两项之积多1，每个奇数项的平方都比前后两项之积少1。
（2）斐波那契数列的第$n+2$项同时也代表了集合${1,2,cdots,n}$中所有不包含相邻正整数的子集个数。
（3）奇数项求和
$a_1+a_3+a_5+a_7+cdots+a_{2n-1}=a_{2n}$。
（4）偶数项求和
$a_2+a_4+a_6+a_8+cdots+a_{2n}=a_{2n+1}-1$。
（5）平方求和
$a^2_1+a^2_2+a^2_3+a^2_4+cdots+a^2_n=a_n·a_{n+1}$。
（6）隔项关系
mgeqslant-1,ngeqslant1)$。
（7）两倍项关系
$ rac{a_{2n}}{a_n}=a_{n-1}+a_{n+1}$。
（8）其他公式
$a_{n-1}·a_{n+1}-a^2_n=(-1)^n$。
二、斐波那契数列的相关例题
科学发现：植物的花瓣、萼片，果实的数目以及其他方面的特征，都非常吻合于一个奇特的数列——著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，$cdots$仔细观察以上数列，则它的第12个数应该是___
答案：144
解析：因为数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，$cdots$所以$a_n=a{n-1}+a{n-2}$，（$ngeqslant3$）第11个数是34+55=89，第12个数是55+89=144，故答案为144。
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