射影定理公式

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2022/1/9

在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有：a=bcosC+ccosB，b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA，这三个式子叫做射影定理。

射影定理内容

AB=AD·AC，BC=CD·CA

两式相加得：

AB+BC=AD·AC+CD·AC=（AD+CD)·AC=AC（即勾股定理）。

注：AB的意思是AB的2次方。

射影定理证明

已知:三角形中角A=90度。AD是高。

证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB 同理可证其余。

证明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA. 同理可证其余。

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