arctanx的原函数是什么 是怎样推导出来的

更新时间:2021/3/28
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arctanx的原函数是x*arctanx-(1/2)ln(1+x)+C。原函数是指对于一个定义在某区间的已知函数f(x),如果存在可导函数F(x),使得在该区间内的任一点都存在dF(x)=f(x)dx,则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。

arctanx的原函数是什么 是怎样推导出来的

arctanx原函数推导过程

∫ arctanx dx

=x*arctanx-∫xd(arctanx)

=x*arctanx-∫x/(1+x)dx

=x*arctanx-(1/2)∫ d(x)/(1+x)

=x*arctanx-(1/2)∫ d(1+x)/(1+x)

=x*arctanx-(1/2)ln(1+x)+C

所以arctanx的原函数解得为:x*arctanx-(1/2)ln(1+x)+C

原函数存在定理

若函数f(x)在某区间上连续,则f(x)在该区间内必存在原函数,这是一个充分而不必要条件,也称为“原函数存在定理”。

函数族F(x)+C(C为任一个常数)中的任一个函数一定是f(x)的原函数,

故若函数f(x)有原函数,那么其原函数为无穷多个。

例如,x是3x的一个原函数,易知,x+1和x+2也都是3x的原函数。因此,一个函数如果有一个原函数,就有许许多多原函数,原函数概念是为解决求导和微分的逆运算而提出来的。

例如:已知作直线运动的物体在任一时刻t的速度为v=v(t),要求它的运动规律,就是求v=v(t)的原函数。原函数的存在问题是微积分学的基本理论问题,当f(x)为连续函数时,其原函数一定存在。

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