2012年南通市中考数学试题及答案解析(4)

文章来源:互联网更新时间:2012-8-20【零二七中考网-中考信息与资源门户网站】

 

27.(本小题满分12分)
如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,点D是BC边的中点.点P从点B出发,以acm/s(a>0)的速度沿BA匀速向点A运动;点Q同时以1cm/s的速度从点D出发,沿DB匀速向点B运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,设它们运动的时间为ts.
(1)若a=2,△BPQ∽△BDA,求t的值;
(2)设点M在AC上,四边形PQCM为平行四边形.
①若a= 5 2,求PQ的长;
②是否存在实数a,使得点P在∠ACB的平分线上?若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由.

【考点】相似三角形的判定与性质;等腰三 角形的性质;勾股定理;平行四边形的性质.
【专题】几何综合题.
【分析】(1)由△ABC中,AB=AC=10厘米,BC=12厘米,D是BC的中点,根据等腰三角形三线合一的性质,即可求得BD与CD的长,又由a=2,△BPQ∽△BDA,利用相似三角形的对应边成比例,即可求得t的值;
(2)①首先过点P作PE⊥BC于E,由四边形PQCM为平行四边形,易证得PB=PQ,又由平行线分线段成比例定理,即可得方程5 2 t 10 =1 2 (6-t) 6 ,解此方程即可求得答案;
②首先假设存在点P在∠ACB的平分线上,由四边形PQCM为平行四边形,可得四边形PQCM是菱形,即可得PB=CQ,PM:BC=AP:PB,及可得方程组,解此方程组求得t值为负,故可得不存在.
【解答】解:(1)△ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,D是BC的中点,
∴BD=CD=1 2 BC=6cm,
∵a=2,
∴BP=2tcm,DQ=tcm,
∴BQ=BD-QD=6-t(cm),
∵△BPQ∽△BDA,
∴BP BD =BQ AB ,
即2t 6 = 6-t 10 ,
解得:t=18 13 ;
(2)①过点P作PE⊥BC于E,
∵四边形PQCM为平行四边形,
∴PM∥CQ,PQ∥CM,PQ=CM,
∴PB:AB=CM:AC,
∵AB=AC,
∴PB=CM,
∴PB=PQ,
∴BE=1 2 BQ=1 2 (6-t)cm,
∵a=5 2 ,
∴PB=5 2 tcm,
∵AD⊥BC,
∴PE∥AD,
∴PB:AB=BE:BD,
即5 2 t 10 =1 2 (6-t) 6 ,
解得:t=3 2 ,
∴PQ=PB=5 2 t=15 4 (cm);
②不存在.理由如下:
∵四边形PQCM为平行四边形,
∴PM∥CQ,PQ∥CM,PQ=CM,
∴PB:AB=CM:AC,
∵AB=AC,∴PB=CM,∴PB=PQ.
若点P在∠ACB的平分线上,则∠PCQ=∠PCM,
∵PM∥CQ,
∴∠PCQ=∠CPM,
∴∠CPM=∠PCM,
∴PM=CM,
∴四边形PQCM是菱形,
∴PQ=CQ,
∴PB=CQ,
∵PB=atcm,CQ=BD+QD=6+t(cm),
∴PM=CQ=6+t(cm),AP=AB-PB=10-at(cm),
即at=6+t①,
∵PM∥CQ,
∴PM:BC=AP:AB,
∴6+t 12 =10-at 10 ,
化简得:6at+5t=30②,
把①代入②得,t=-6 11 ,
∴不存在实数a,使得点P在∠ACB的平分线上.
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、菱形的判定与性质以及等腰三角形的性质等知识.此题难度较大,注意数形结合思想与方程思想的应用.

28.(本小题满分14分)
如图,经过点A(0,-4)的抛物线y= 1 2x2+bx+c与x轴相交于点B(-0,0)和C,O为坐标原点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)将抛物线y= 1 2x2+bx+c向上平移 7 2个单位长度、再向左平移m(m>0)个单位长度,得到新抛物线.若新抛物线的顶点P在△ABC内,求m的取值范围;
(3)设点M在y轴上,∠OMB+∠OAB=∠ACB,求AM的长.
【考点】二次函数综合题.
【专题】分类讨论.
【分析】(1)该抛物线的解析式中只有两个待定系数,只需将A、B两点坐标代入即可得解.
(2)首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式,进而用m表示出该函数的顶点坐标,将其代入直线AB、AC的解析式中,即可确定P在△ABC内时m的取值范围.
(3)先在OA上取点N,使得∠ONB=∠ACB,那么只需令∠NBA=∠OMB即可,显然在y轴的正负半轴上都有一个符合条件的M点;以y轴正半轴上的点M为例,先证△ABN、△AMB相似,然后通过相关比例线段求出AM的长.
【解答】解:(1)将A(0,-4)、B(-2,0)代入抛物线y= 1 2x2+bx+c中,得:
 0+c=-4 1 2 ×4-2b+c=0   ,
解得: b=-1 c=-4  
∴抛物线的解析式:y= 1 2x2-x-4.
(2)由题意,新抛物线的解析式可表示为:
y= 1 2(x+m)2-(x+m)-4+7 2 ,
即:y= 1 2 x2+(m-1)x+1 2 m2-m-1 2 ;
它的顶点坐标P:(1-m,-1);
由(1)的抛物线解析式可得:C(4,0);
那么直线AB:y=-2x-4;直线AC:y=x-4;
当点P在直线AB上时,-2(1-m)-4=-1,解得:m=5 2 ;
当点P在直线AC上时,(1-m)-4=-1,解得:m=-2;
∴当点P在△ABC内时,-2<m<5 2 ;
又∵m>0,
∴符合条件的m的取值范围:0<m<5 2 .
(3)由A(0,-4)、B(4,0)得:OA=OC=4,且△OAC是等腰直角三角形;
如图,在OA上取ON=OB=2,则∠ONB=∠ACB=45°;
∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB,即∠ONB=∠OMB;
如图,在△ABN、△AM1B中,
∠BAN=∠M1AB,∠ABN=∠AM1B,
∴△ABN∽△AM1B,得:AB2=AN•AM1;
易得:AB2=(-2)2+42=20,AN=OA-ON=4-2=2;
∴AM1=20÷2=10,OM1=AM1-OA=10-4=6;
而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN,
∴OM1=OM2=6,AM2=OM2-OA=6-4=2.
综上,AM的长为6或2.
【点评】考查了二次函数综合题,该函数综合题的难度较大,(3)题注意分类讨论,通过构建相似三角形是打开思路的关键所在.

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